Η μελέτη αυτή αποτελεί αναθεωρημένη και γενικευμένη παρουσίαση της ανακοινώσεως που έγινε στο «Διεθνές Συνέδριο για την ιστορία της Μετρήσεως και το ρόλο των κανόνων της στον πολιτισμό» (Βουδαπέστη, Απρίλιος 1976). Το γενικό θέμα του Συνεδρίου περιώρισε την ανακοίνωση στην αρχαιότατη ιστορία της μετρήσεως γωνιών. Οι φιλοσοφικές επιπτώσεις της τεχνικής των μετρήσεων, που αναλύονται εδώ, δεν συζητήθηκαν στο συνέδριο. Στην περίληψη αυτή συγκεφαλαιώνομε τους συλλογισμούς, που μας ωδήγησαν στην ανακατασκευή της «αράχνης», του κυρίου οργάνου μετρήσεως γωνιών του Ευδόξου. Συμπερασματικά προσπαθούμε να δείξωμε πως η μέθοδος που χρησιμοποιείται στο όργανο αυτό εγκαινιάζει μια νέα δυναμική αντίληψη του κόσμου. Ως αφετηρία στην έρευνά μας πήραμε τη «μεγάλη αρμονία» του Πλάτωνος στο Τίμαιο, με βάση την υπόθεση ότι το οικοδόμημα της ψυχής του κόσμου συναρμολογήθηκε είτε με πλαίσιο αναφοράς το κοσμολογικό σύστημα του Ευδόξου είτε προωθώντας το σύστημα αυτό. Στη συνέχεια ανακαλύψαμε ότι η τιμή της λοξώσεως της εκλειπτικής, που χρησιμοποίησε ο Πλάτων και πιθανώς ο Εύδοξος, είναι κάπως μικρότερη από την πραγματική τιμή. Η διαπίστωση, ότι η τιμή της λοξώσεως του Πλάτωνος είχε πραγματικά χρησιμοποιηθή και από τον Εύδοξο, ενισχύεται από τη μελέτη της μεθόδου, που χρησιμοποιεί για να προσδιορίζη το γεωγραφικό πλάτος. Η χρησιμοποίηση του νέου αυτού στοιχείου επέτρεψε την ανασύνθεση της μεθόδου υπολογισμού του Ευδόξου στις πλανητικές θεωρίες του κι ακόμη στις μεθόδους αναλύσεως και συνθέσεως καθώς καθώς και σ’ ένα ουσιώδες χαρακτηριστικό της ευρετικής του μεθόδου. Το σύστημα του Ευδόξου, που ανασυνθέσαμε, εξηγεί πλήρως με αφετηρία τις γνωστές περιόδους του Ευδόξου περισσότερες από εκατό άλλες κύριες παραμέτρους της κοσμολογίας του. Γνωρίζοντας, λοιπόν, ότι στη λύση του προβλήματος των συνδυασμένων σφαιρικών κινήσεων ο Εύδοξος επέτυχε οξείες γωνίες μετρούμενες με την εφαπτομένη μισών γωνιών, ανακατασκευάσαμε την «αράχνη», που μετρά τις γωνίες κατ’ αυτό τον τρόπο. Η «αράχνη» μπορεί ακόμη να χρησιμοποιηθή για τον προσδιορισμό του γεωγραφικού πλάτους, σύμφωνα με τη μέθοδο του Ευδόξου, και για την εξαγωγή τετραγωνικών και κυβικών ριζών. Σε μια προσεκτικότερη ανάλυση της δυνατότητας που αναφέραμε τελευταία, αποδεικνύεται ότι η αράχνη εξηγεί την επονομαζόμενη Πλατωνική λύση στο πρόβλημα των δύο μέσων αναλόγων και μια ευρετική μέθοδο του Ευδόξου, που συνεπάγεται τη χρήση των «καμπύλων γραμμών» και που αναφέρει ο Ευτόκιος. Αυτές λειτουργούν όπως η βοηθητική παράμετρος στην αλγεβρική λύση του προβλήματος των συνδυασμένων σφαιρικών κινήσεων. Το συμπέρασμα είναι ότι η «αράχνη» με το να είναι ένα συγκεκριμένο πρότυπο του γεωμετρικού συστήματος (όπως ακριβώς η ψυχή του κόσμου του Πλάτωνος είναι το μεταφορικό πρότυπό της) εικονογραφεί τους τροπικούς, τον ισημερινό, την εκλειπτική, τον μεσημβρινό και τα ισημερινά σημεία. Ο δυναμικός χαρακτήρας, τέλος, όλων αυτών των μεθόδων προσεγγίσεως, που είναι φανερές στη χρήση της αράχνης, συγγενικές με τις πυθαγόρειες μεθόδους προσεγγίσεως των ασυμμέτρων αριθμών και των γενικεύσεών της, στρέφουν την προσοχή προς τη λιγότερο ορθόδοξη παράδοση των αρχαίων μαθηματικών, που αντιπροσωπεύθηκαν από τον Αρχιμήδη, τον Ήρωνας και τον Διόφαντο, αν και η αρχή τους μπορεί να ανιχνευθή στην εύρεση της δυνάμεως, την δευτεροβάθμια τιμή ενός ορθογωνίου. Αν είναι έτσι, όλα αυτά παρακινούν για μια επανεξέταση της νεώτερης εκτιμήσεως της σχέσεως μεταξύ της αξιωματικής μεθόδου και της χρήσεως οργάνων στα ελληνικά Μαθηματικά. Γιατί αυτές οι «ενόργανες» μέθοδοι προσεγγίσεως συνεπάγονται μια δυναμική αντίληψη του κόσμου, που εκφράζει τις πιο δημιουργικές δυνάμεις των Ελλήνων στην θετική επιστήμη τους.
Ακαδημία Αθηνών
